DesignMat Efter\303\245r uge 3Preben Alsholm, 16/6 2010Pakkerrestart;if ssystem("hostname")=[0,"PC-PKA1"] then
libname:="C:/Documents and Settings/alsholm/Dokumenter/Kopi af DropBox/DMat",libname
elif ssystem("hostname")=[0,"pc-pka"] then
libname:="F:/DMat",libname
elif ssystem("hostname")=[0,"alsholm-PC"] then
libname:="F:/DMat",libname
else print("Fremmed computer. Skriv selv libname.")
end if;with(DMat):with(LinearAlgebra):Eksempel 1ligning:=x*diff(u(x),x)=lambda*u(x);dsolve(ligning);Eksempel 2A:=<3,0,0;0,-11,-3;0,36,10>;Eigenvectors(A);Eksempel 3A:=Matrix([[5,0,-8],[3,2,-3],[3/2,0,-3]]);A-lambda*IdentityMatrix(3);Determinant(%);factor(%);T:=<A-3|<0,0,0>>;GaussianElimination(T);LinearSolve(T,free=t);ExpandVector(%);Eigenvectors(A);Eksempel 4A:=Matrix([[-5,-3,3],[-3,-5,3],[-9,-9,7]]);Eigenvectors(A);Eksempel 5 (Polynomieeksempel)Det foruds\303\246ttes, at x bruges som variabel i polynomierne.Vi definerer f p\303\245 polynomier vx ved:f:=vx->(x^2+2*x+3)*diff(vx,x,x)+(d*x+1)*diff(vx,x)+vx;mon:=[seq(x^k,k=0..2)];Koordinatfunktionen mht. monomiebasen:Km:= px -> <seq(coeff(px,x,i),i=0..2)>;Km(x^2+2*x+89);Billederne ved f af monomiebasisvektorernefmon:=f~(mon);sort~(collect~(%,x),x,ascending);Km~(fmon);Afbildningsmatricen F mht. monomiebasen:F:=Matrix(%);Hvad egenv\303\246rdierne ang\303\245r, er der intet problem: F er en \303\270vre triangul\303\246r matrix, s\303\245 egenv\303\246rdierne st\303\245r i diagonalen.Egenv\303\246rdierne er indbyrdes forskellige med mindre d = 0 eller d = -1 eller d = -2. S\303\245 vi ved p\303\245 forh\303\245nd, at F er diagonaliserbar, hvis d ikke har en af v\303\246rdierne 0, -1 eller -2.F\303\270r vi kaster os over disse specialtilf\303\246lde lader vi Maple regne: Egenv\303\246rdier og egenvektorer for F:Lambda,V:=Eigenvectors(F);simplify(V^(-1).F.V);Af V fremg\303\245r, at polynomiernep1:=add(V[i,1]*mon[i],i=1..3);
p2:=add(V[i,2]*mon[i],i=1..3);
p3:=add(V[i,3]*mon[i],i=1..3);er egenvektorer for f med egenv\303\246rdier d+1, 1 og 2d+3, henholdsvis. Dette ses ogs\303\245 direkte:simplify(f(p1)-(d+1)*p1);
f(p2)-p2;
simplify(f(p3)-(2*d+3)*p3);Specialtilf\303\246ldene:Eigenvectors(eval(F,d=0));F er ikke diagonaliserbar for d = 0.Eigenvectors(eval(F,d=-1));F er ikke diagonaliserbar for d = -1.Eigenvectors(eval(F,d=-2));F er ikke diagonaliserbar for d = -2.En lidt mere generel versionDet foruds\303\246ttes, at x bruges som variabel:f:=vx->(a*x^2+b*x+c)*diff(vx,x,x)+(d*x+e)*diff(vx,x)+h*vx;f(x^2);n:=2:
mon:=[seq(x^k,k=0..n)];Km:= px -> <seq(coeff(px,x,i),i=0..n)>;Km(x^n+2*x+89);Billederne ved f af monomiebasisvektorernefmon:=f~(mon);collect~(%,x);Km~(fmon);Afbildningsmatricen F mht. monomiebasen:F:=Matrix(%);Lambda,V:=Eigenvectors(F);De polynomier, der har s\303\270jlerne i V som monomie-koordinatvektorer er egenvektorer for f.Dvs. polynomierne er:seq(add(Column(V,i)[j]*x^(j-1),j=1..3),i=1..3);Der er nogle foruds\303\246tninger for Maple-resultatet:d<>0,d+a<>0,d+2*a<>0;Specialtilf\303\246lde 1: d = 0.Lambda1,V1:=Eigenvectors(eval(F,d=0));Vi ser, at F ikke er diagonaliserbar i dette tilf\303\246lde. Til egenv\303\246rdien h h\303\270rer egenvektorerne polynomierne af grad 0.Bem\303\246rk, at hvis a = 0, er det v\303\246rre:Eigenvectors(eval(F,{a=0,d=0}));Specialtilf\303\246lde 2: d = -a.Lambda2,V2:=Eigenvectors(eval(F,d=-a));Vi ser, at F heller ikke er diagonaliserbar i dette tilf\303\246lde. Til egenv\303\246rdien h h\303\270rer egenvektorerne polynomierne af grad 0.Bem\303\246rk igen, at hvis a = 0, er det v\303\246rre, men eksakt som ovenfor, da s\303\245 a = d = 0.Specialtilf\303\246lde 3: d = -2*a.Lambda3,V3:=Eigenvectors(eval(F,d=-2*a));Vi ser, at F ej heller er diagonaliserbar i dette tilf\303\246lde. Til egenv\303\246rdien h - 2a h\303\270rer det \303\251ndimensionale egenrum med basisvektor 2*a*x-e.Igen er det v\303\246rre, hvis a = 0.