Korteste Vej til Toppen?Fra Matematik 1 (01005). Her revideret 6/8 2008IndledningVi forestiller os, at der i et ellers fladt landskabligger et bjerg, der har form som grafen for funktionen 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 det rektangul\303\246re omr\303\245de i x-y-planen, som er afgr\303\246nset ved: 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 , LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2Ji1GLDYlUSJ4RicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVElJmxlO0YnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZRLUkjbW5HRiQ2JFEiMkYnRj5GPkYrRj4=, 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, LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2Ji1GLDYlUSJ5RicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVElJmxlO0YnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZRLUkjbW5HRiQ2JFEiMkYnRj5GPkYrRj4= .Udenfor dette omr\303\245de er landomr\303\245det i niveau med havoverfladen,alts\303\245 givet ved 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 .(P\303\245 randen af omr\303\245det forestiller vi os, at bjerget har helt lodrette sider.)OpgaverOpgave aTegn et plot af "bjerg-grafen" ved brug af plot3d med det ovenfor givne definitionsomr\303\245de.Opgave bHvad er koordinaterne for det h\303\270jeste punkt, B, p\303\245 bjerget?(Afl\303\246s f\303\270rst p\303\245 grafen og argumenter dern\303\246st pr\303\246cist for dit svar.)Opgave cVis, at det rette linjestykke med parameterfremstillingenr(t) = (x, y, z) = (0, -2, 0) + s(1, 1, 4) , LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbW5HRiQ2JFEiMEYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdub3JtYWxGJy1JI21vR0YkNi1RJSZsZTtGJ0YvLyUmZmVuY2VHUSZmYWxzZUYnLyUqc2VwYXJhdG9yR0Y4LyUpc3RyZXRjaHlHRjgvJSpzeW1tZXRyaWNHRjgvJShsYXJnZW9wR0Y4LyUubW92YWJsZWxpbWl0c0dGOC8lJ2FjY2VudEdGOC8lJ2xzcGFjZUdRLDAuMjc3Nzc3OGVtRicvJSdyc3BhY2VHRkctSSNtaUdGJDYlUSJzRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvRjBRJ2l0YWxpY0YnRi8=, LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JVEic0YnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JI21vR0YkNi1RJSZsZTtGJy9GM1Enbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRj0vJSlzdHJldGNoeUdGPS8lKnN5bW1ldHJpY0dGPS8lKGxhcmdlb3BHRj0vJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y9LyUnYWNjZW50R0Y9LyUnbHNwYWNlR1EsMC4yNzc3Nzc4ZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGTC1JI21uR0YkNiRRIjJGJ0Y5Rjk= .ligger helt indeholdt i bjerg-fladen og forbinder punktet A = (0, -2, 0) ( ved havoverfladen) med det ovenfor fundne h\303\270jest beliggende punkt B.NB: Den korteste sti p\303\245 bjerget fra bjerg-punktet A = (0, -2, 0)(ved havoverfladen) til bjergets toppunkt B er derfor denne rette linje.Hvorfor det?Opgave dBenyt contourplot til at tegne et system af niveaukurver for funktionenf i det rektangul\303\246re bjerg-omr\303\245de i x-y-kordinatsystemet, hvorover bjerg-fladen er defineret. Dette er da et h\303\270jdekort over bjerget. Aftegn dette h\303\270jdekort her med (for eksempel 7) niveaukurver:Opgave eIndtegn dern\303\246st p\303\245 dit h\303\270jdekort de to punkter, der svarer til bjergpunkterne A og B samt den kurve i kortet, som svarer til den korteste stip\303\245 bjerget fra A til B, som vi fandt ovenfor.Opgave fBeregn gradienten af funktionen f i eksempelvis 3 punkter langs den ovenfor fundne og tegnede kurve i kortet, og indtegn ogs\303\245 de 3 gradientvektorerp\303\245 din figur ovenfor.Opgave gVis, at der er \303\251t og kun \303\251t punkt p\303\245 kurven hvor gradienten af f peger isamme retning som kurven.(Benyt eventuelt f\303\270lgende kommando, som automatisk visergradientvektorer i j\303\246vnt fordelte punkter i definitionsomr\303\245det. gradplot(f(x, y), x=-1..2, y=-2...2,arrows=SLIM, grid=[10,10]);)Er det ikke i direkte modstrid med: "Man kan alts\303\245 karakterisere gradienten som en vektor, der g\303\245ri den retning, hvori f vokser kraftigst, ... " (citat fra [Analyse 2] side 68) ?L\303\270sningsforslag (til nogle af opgaverne)restart;
with(plots): f:= (x, y)->x^2 - y^2 + 4;bjerg := plot3d(f(x, y), x=-1...2, y=-2...2, style=patchnogrid, scaling=constrained, axes=box, orientation=[-120,40]):bjerg;r:= s-> [s, -2+s, 4*s];r(0);r(2);sti := spacecurve(r(s), s=0...2, color=red, thickness=3):display(sti, bjerg);niveauer:= contourplot(f(x, y), x=-1..2, y=-2...2, contours=7, scaling=constrained):niveauer;Projektionen af den rette linie p\303\245 x-y-planen giver den \303\270nskede kurve (igen en ret linie) p\303\245 kortet. Denne kort-kurve har tangent parallel med vektoren (1, 1) i alle sine punkter.sti2d := plot([s, s-2, s=0...2], color=red,
scaling=constrained, thickness=3):display(sti2d, niveauer);gradfelt:= gradplot(f(x, y), x=-1..2, y=-2...2,
arrows=SLIM, grid=[10,10],
scaling=constrained):gradfelt;display(gradfelt, sti2d, niveauer);Gradienten af f :G:=unapply(<D[1](f)(x,y),D[2](f)(x,y)>,x,y):G(x,y);Denne vektor er parallel med (1, 1) i netop \303\251t punkt, nemlig (1, -1).Det vil sige, at den korteste vej til toppen er i dette tilf\303\246lde (for det meste) IKKE i gradientens retning!Alternativt kan gradienten findes ved brug af VectorCalculuspakken:#with(VectorCalculus):#BasisFormat(false):#Gradient(f(x, y), [x, y]);En sti fra et punkt A1 lidt inde p\303\245 den lige vej fra A til et punkt B1 p\303\245 den lige vej lidt f\303\270r B, der hele tiden g\303\245r i gradientens retning kan findes ved l\303\270sning af et par differentialligninger:sys:=diff(x(t),t)=x(t),diff(y(t),t)=-y(t);x0:='x0': y0:='y0':dsolve({sys,x(0)=x0,y(0)=y0});Tager vi punktet A1 til det der svarer til s = 0.1 p\303\245 den lige vej:r(0.1);m\303\245 vi alts\303\245 s\303\246tte x0,y0:=op(1..2,%);Hvis vi tilsvarende tager B1 til det der svarer til s = 1.9 p\303\245 den lige vej:r(1.9);m\303\245 B1 alts\303\245 have x-koordinaten x1 og y-koordinaten y1, hvorx1,y1:=op(1..2,%);sti2 := spacecurve([x0*exp(t),y0*exp(-t),f(x0*exp(t),y0*exp(-t))], t=0...ln(-x1/y1), color=blue, thickness=3):display(sti,bjerg,sti2);sti2_2d := plot([x0*exp(t),y0*exp(-t), t=0...ln(-x1/y1)], color=blue,
scaling=constrained, thickness=3):display(sti2_2d,sti2d,niveauer,gradfelt);AnimationTager vi punktet A1 til det der svarer til eps p\303\245 den lige vej:r(eps);m\303\245 vi alts\303\245 s\303\246tte x0,y0:=op(1..2,%);Hvis vi tilsvarende tager B1 til det der svarer til 2-eps p\303\245 den lige vej:r(2-eps);m\303\245 B1 alts\303\245 have x-koordinaten x1 og y-koordinaten y1, hvorx1,y1:=op(1..2,%);animate(spacecurve,[[x0*exp(t),y0*exp(-t),f(x0*exp(t),y0*exp(-t))], t=0...ln(-x1/y1), color=blue, thickness=3],eps=.5..0.01,background=display(sti,bjerg));animate(plot,[[x0*exp(t),y0*exp(-t), t=0...ln(-x1/y1)], color=blue,
scaling=constrained, thickness=3],eps=.5..0.01,background=display(sti2d,niveauer,gradfelt));