01037 Uge 5Preben Alsholm, 3/10 2006libname:="e:/SigLinSys/lib01037",libname;with(SigLinSys);Opgave 102Sum((sin(n)+cos(n))/n^2,n=1..infinity);value(%);Maple kan ingen sum finde, men sammenligning med Sum(1/n^2,n=1..infinity);giver absolut konvergens.Sum(cos(n*Pi)*2/(n+5),n=1..infinity);value(%);Vi andre n\303\270jes med at sige, at r\303\246kken er alternerende og i \303\270vrigt opfylder kravet i Leibniz' kriterium, s\303\245 konvergent.R\303\246kken er dog ikke absolut konvergent: Den harmoniske r\303\246kke.Sum((-2)^n/(n^2+7),n=1..infinity);R\303\246kken er divergent, da n'te led ikke g\303\245r mod nul.Opgave 103Sum((n+3)/(n+2),n=1..infinity);value(%);n'te led g\303\245r ikke mod nul: Divergent.Sum((1/5)^n,n=1..infinity);value(%);Kvotientr\303\246kke!Sum(1/2/(n+2),n=1..infinity);value(%);\303\206kvivalent med den harmoniske r\303\246kke.Sum(1+(-1)^n,n=1..infinity);value(%);n'te-ledskriteriet!Sum(1/(n+3)/(n+4),n=1..infinity);value(%);Vinket siger alt.Opgave 105S:=Sum(f(n),n=n0..infinity);Korollar 4.21(ii):K21:=Afsnit(S,N)+Int(f(x),x=N+1..infinity)<S and S<Afsnit(S,N+1)+Int(f(x),x=N+1..infinity);(i)f:=x->1/(1+x^2);N:=0: n0:=1:K21;applyop(value,{[1,1],[2,2]},K21);Forbedring:N:=10:K21;applyop(value,{[1,1],[2,2]},K21);applyop(evalf,{[1,1],[2,2]},K21);value(S);evalf(%);(ii)f:=x->1/x^3;N:=1: n0:=2:K21;applyop(value,{[1,1],[2,2]},K21);Forbedring:N:=10:K21;applyop(value,{[1,1],[2,2]},K21);applyop(evalf,{[1,1],[2,2]},K21);value(S);evalf(%);Opgave 106Kvotientr\303\246kke:Sum(1/2^(2*k+1),k=0..infinity);value(%);Opgave 107Alternerende r\303\246kker.Men alligevel temmelig forskellige.Leibniz:a:=n->(-1)^n/sqrt(n);Leibniz:b:=n->(-1)^n/ln(n);Falder p\303\245 n'te-ledskriteriet:c:=n->(-1)^n*n^2/(n^2+1);Absolut konvergent:d:=n->(-1)^n/n^(3/2);Falder p\303\245 n'te-ledskriteriet:e:=n->(-1)^n*n/ln(n);Leibniz:f:=n->(-1)^n/(n-3*sqrt(n));L:=map(g->Sum(g(n),n=n1..infinity),[a,b,c,d,e,f]);a, b, f er betinget konvergente. d er absolut konvergent. c og e er divergente.Opgave 126 (korrigeret)Kvotientr\303\246kke, s\303\245 konvergent netop, n\303\245rabs(2+a)>1;dvs. solve(%) assuming real;V\303\246rdi:Sum(1/(2+a)^n,n=1..infinity);value(%);Opgave 150Sum(1/(n^3+1),n=1..infinity);Konvergent ved sammenligning medSum(1/n^2,n=1..infinity);Sum(1/(n+sin(n)),n=1..infinity);Divergent ved sammenligning med den harmoniske r\303\246kke.Det samme g\303\246lderSum(1/n^(1/2),n=1..infinity);