Line\303\246r Algebra 2Preben Alsholm, 1/8 2006restart;with(LinearAlgebra): MatrixproduktLad A v\303\246re matricenA:=Matrix([[0,1,3,-4],[1,2,-5,1],[3,1,-4,6],[-1,2,-1,1]] );Vi lader B v\303\246re en matrix med elementer valgt som tilf\303\246ldige hele tal mellem -9 og 9:B:=RandomMatrix(4,4,generator=-9..9);Produktet mellem A og B f\303\245s s\303\245ledes, hvor prikken er et punktum:A.B;Lad b v\303\246re s\303\270jlevektoren:b:=<1,-2,-2,6>;Produktet Ab f\303\245s ligesom produktet AB v.hj.a. punktum:A.b; Transponering. Skalarprodukt.Den transponerede matrix til en matrix A f\303\245s s\303\245ledes:Transpose(A);Matrixproduktet LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1JJW1zdXBHRiQ2JS1GLDYlUSJBRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUYsNiVRIlRGJ0Y3RjovJTFzdXBlcnNjcmlwdHNoaWZ0R1EiMEYnLUkjbW9HRiQ2LVExJkludmlzaWJsZVRpbWVzO0YnL0Y7USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGSy8lKXN0cmV0Y2h5R0ZLLyUqc3ltbWV0cmljR0ZLLyUobGFyZ2VvcEdGSy8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRksvJSdhY2NlbnRHRksvJSdsc3BhY2VHUSYwLjBlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZaRjRGKw== vil altid v\303\246re en symmetrisk matrix:Transpose(A).A;Vi ser, at matricen er symmetrisk.Skalarproduktet mellem to s\303\270jlevektorer eller mellem to r\303\246kkevektorer kan f\303\245s ved brug af punktum ligesom matrixproduktet. Her tager vi som eksempel to r\303\246kkevektorer:v:=Vector[row]([-1,2,-3]);w:=Vector[row]([7,9,13]); v.w;Skalarproduktet kan ogs\303\245 f\303\245s s\303\245ledes:v.Transpose(w);DotProduct(v,w);Invers matrixDen inverse til A f\303\245s s\303\245ledes:A^(-1);Man kan ogs\303\245 bruge MatrixInverse:MatrixInverse(A);Det korteste er selvf\303\270lgelig at taste A^(-1), hvilket ogs\303\245 kan anbefales. For matricer, der ikke har nogen invers, vil MatrixInverse returnere den s\303\245kaldte Moore-Penrose-pseudoinverse matrix, se herom i hj\303\246lpen til MatrixInverse.Kontrol af den inverse best\303\245r i udregning af 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, der gerne skulle give enhedsmatricen:IdentityMatrix(4);Vi pr\303\270ver:A.A^(-1);Vi fik enhedsmatricen, hvilket viser, at den inverse blev regnet rigtigt ud.Nulrum for matrixLad A v\303\246re matricenA:=Matrix([[1,1,-2,1,2],[0,0,2,2,1]]);En basis for nulrummet for:NA:=NullSpace(A);Kontrol af at de 3 vektorer tilh\303\270rer nulrummet:map( v->A.v, NA);Ved "h\303\245ndkraft" kan en basis for nulrummet findes s\303\245ledes:Vi danner f\303\270rst totalmatricen for det homogene system Ax = 0:T:=<A|<0,0>>;Vi reducerer til reduceret echelonform:RRA:=ReducedRowEchelonForm(T);Vi nedskriver det tilsvarende ligningssystem:GenerateEquations(RRA,[x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]]);Vi l\303\270ser for de basale variable vhj.a. solve:solve(%,{x[1],x[3]});Her f\303\245s s\303\245 l\303\270sningerne til Ax = 0 udtrykt ved de frie variable x2, x4 og x5:subs(%,<x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]>);De tre basisvektorer kan pilles ud herfra s\303\245ledes:map(subs,{{x[2]=1,x[4]=0,x[5]=0},{x[2]=0,x[4]=1,x[5]=0},{x[2]=0,x[4]=0,x[5]=1}},%);LinearSolve vil producere en anden (men liges\303\245 god) basis: LinearSolve(RRA,free=x);LinearSolve(A,<0,0>,free=x);NA2:=map(subs,{{x[2]=1,x[3]=0,x[4]=0},{x[2]=0,x[3]=1,x[4]=0},{x[2]=0,x[3]=0,x[4]=1}},%);At de to baser er lige gode kan vises ved at vise, at vektorerne i den ene kan skrives som en linearkombination af vektorerne i den anden og omvendt. Og dette kan evt. g\303\270res s\303\245ledes:V:=<NA[1]|NA[2]|NA[3]>;U:=<NA2[1]|NA2[2]|NA2[3]>;Vi l\303\270ser matrixligningen VX = U for X, hvorved vi unders\303\270ger om vektorerne i NA2 ogs\303\245 skrives som en linearkombination af vektorerne i NA:ReducedRowEchelonForm(<V|U>);X:=%[1..3,4..6];Der var alts\303\245 en l\303\270sning, og vi bem\303\246rker, at X er invertibel, s\303\245 VX = U medf\303\270rer LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2Ji1GLDYlUSJWRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVEiPUYnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZRLUYjNiUtRiw2JVEiVUYnRjRGNy1GOzYtUTEmSW52aXNpYmxlVGltZXM7RidGPkZARkNGRUZHRklGS0ZNL0ZQUSYwLjBlbUYnL0ZTRmduLUklbXN1cEdGJDYlLUYsNiVRIlhGJ0Y0RjctRiM2JC1GOzYtUSomdW1pbnVzMDtGJ0Y+RkBGQ0ZFRkdGSUZLRk0vRlBRLDAuMjIyMjIyMmVtRicvRlNGZW8tSSNtbkdGJDYkUSIxRidGPi8lMXN1cGVyc2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGK0Yr. Alts\303\245 kan vektorerne i NA ogs\303\245 skrives som en linearkombination af vektorerne i NA2.Basis for underrumLad der v\303\246re givet nogle vektorerv1,v2,v3,v4:=<1,-3,2,-4>,<-3,9,-6,12>,<2,-1,4,2>,<-4,5,-3,7>;Vi vil finde en basis for Span( v1, v2, v3, v4 ) blandt vektorerne v1, v2, v3, v4:Basis([v1,v2,v3,v4]);H\303\245ndkraft:V:=Matrix([v1,v2,v3,v4]);GaussianElimination(V);Pivoteringss\303\270jlerne er 1, 3 og 4. Alts\303\245 er {v1, v3, v4} en basis for Span( v1, v2, v3, v4 ) (og er dermed en basis for s\303\270jlerummet for matricen V).Rang af matrix, S\303\270jlerumRangen af en matrix kan f.eks. defineres som det maksimale antal line\303\246rt uafh\303\246ngige s\303\270jler (eller r\303\246kker!) i matricen. Rangen kan ogs\303\245 defineres som antal fra nulr\303\246kken forskellige r\303\246kker i en echelonform for matricen.Den findes let i Maple. Vi laver f\303\270rst en matrix vi kan afpr\303\270ve:M:=<A,-3*A>;Rank(M);Kontrol:GaussianElimination(M);Antal fra nulr\303\246kken forskellige r\303\246kker i echelonformen er 2, hvilket stemmer med Maples svar p\303\245 rangen.S\303\270jlerummet er rummet udsp\303\246ndt af s\303\270jlerne. En basis for dette rum f\303\245s i Maple s\303\245ledes:ColumnSpace(M);Dimensionen af s\303\270jlerummet er det samme som rangen af matricen.